Glanna, ты все знаешь
Я вроде как помню, что квитанцию за садик в текущем месяце мы платим наперед, т.е. в мае за июнь. Если я не буду ходить след. мес в садик, то я могу ничего не платить? А то воспитатель говорит, что мы в мае платим за май. 

Не все, но это знаю. Воспитатель правильно сказала.
В мае мы платим за май, в июне за июнь, то есть с 1 числа и до 30(31). Если вы отходите ровно по 30 (31) без пропусков, то выйдет по нулям. Если какой-то день пропустите - управления образования будет вам должно.