Вот и моя долгое время кашляла и тоже по утрам, педиатр наша то отхаркивающее назначала, то наоборот кашле заглушающее 
Но у нас аденоидит 2 ст. Начали нос лечить и вроде лучше стало. Я у Шкарупеты спрашивала, может ли кашель по утрам нос давать, сказал может. Я так понимаю слизь за ночь скапливается и утром все-равно откашляться нужно. У моей приступ кашля начинался как только в садик входим, в раздевалке
(родители иногда шарахались) а потом целый день нормально. Кстати тоже думала, может аллергия, но толковый врач сразу должен разобраться, при аллергии обычно кашель немного не стандартный.
С такой же проблемой 2 года жили. Сейчас уже полгода как у сына приступы прекратились. Только у нас еще и по вечерам кашлял. Прокашливания эти длились в течении часа. Определили аллергический кашель. Сдавали анализы с вены на аллергены - результат в 3 раза выше нормы. Лечились антигистаминными. Когда их пили, кашля не было, прекращали - и опять кашлял. Мне кажется, сейчас или он перерос, или уже привык к аллергенам, а может и лечение помогло.
Попробуйте ребенку подавать и вы. Если, когда даете антигистаминное кашля нет - то точно аллергический кашель.
У нас еще такая проблема, что любая простуда или в сопли в бронхит перерастает, буквально за пару дней. Стенозы нам тоже очень знакомы.